Основателем формализма является немецкий математик Давид Гильберт. Выдвинув эту программу впервые в 1899 г., он существенно обновил ее в 1920-х гг. и работал над ней вплоть до своей кончины в 1942 г. Его не устраивали ни логицизм, ни интуиционизм. Он считал, что логицисты тщетно пытаются свести математику к логике, а интуи- ционисты чрезмерно сужают сферу математики, отказываясь от многих ее достижений, в том числе канторовой теории бесконечных множеств. Сам Гильберт относился к математике очень трепетно. Ему хотелось непременно сохранить все накопленное в ней. В этой связи предметом его особого внимания стали наряду с подлинными математическими объектами так называемые математические идеализации, например мнимые числа, бесконечно малые величины и бесконечность как таковая. Подлинные математические объекты необходимы для описания реальных явлений, полагал Гильберт. Но каков же статус идеализаций, например бесконечности? 

«Бесконечное, — утверждал Гильберт, — нигде не реализуется, его нет в природе, и оно недопустимо как основа нашего разумного мышления [...]. Роль, которая остается бесконечному, — это только роль идеи, если, согласно Канту, под идеей подразумевать понятие, образованное разумом, которое выходит за пределы всякого опыта и посредством которого конкретное дополняется в смысле целостности [...J»[20]. Реконструируя ход мысли Гильберта, ее можно обобщить следующим образом. 
В теорию допустимо включать такие идеализации, которые не нарушают ее статус. Они имеют вспомогательное значение. Недопустимо включать в теорию идеализации, которые разрушают ее, т.е. вносят в математику недопустимые противоречия. Так как идеализации не описывают реальные явления, то они изобретаются самим человеком. В соответствии с философией Канта, человек способен изобретать трансцендентальные и трансцендентные идеи. В отличие от трансцендентальных идей трансцендентные положения приводят к противоречиям. Следовательно, математические идеализации имеют трансцендентальный характер, т.е. они являются результатом деятельности рассудка. Он, имея дело с реальными явлениями, приписывает им трансцендентальную схематику, которая не совпадает ни с реальными явлениями, ни с процессами сознания. Отсюда Гильберт делал вывод, что следует формализовать допустимые математические методы и работать с символами. Что же касается обоснования математических теорий, то оно вынужденно оказывается трехступенчатым. Во-первых, необходимо всячески избегать трансцендентных понятий, вносящих в математические теории противоречия. Во-вторых, необходимо доказать, что трансцендентальные понятия, т.е, идеализации, безвредны, они лишь свидетельствуют о силе основного ядра теории. В-третьих, необходимо обосновать непротиворечивость ядра теории. В конечном счете, благополучно избежав Сциллы и Харибды эмпиризма и интуиционизма, Гильберт оказался в родной математической стихии. Достоверность теории должна быть обоснована в теории математического доказательства, основателем которой и стал Гильберт. 
Таким образом, решающее значение в программе формализма приобретает доказательство непротиворечивости математических теорий. К этому необходимо добавить, что, будучи прекрасным геометром, Гильберт, используя теорию моделей, связал непротиворечивость евклидовой геометрии с непротиворечивостью арифметики. Он рассматривал арифметику в качестве модели евклидовой геометрии, а также других математических теорий. Вследствие этого вопрос о непротиворечивости формальной аксиоматической арифметики приобрел в программе формализма важнейшее значение. Что касается математических доказательств, то они должны быть избавлены от призрака бесконечности, т.е. осуществляться за конечное число шагов (требование финитизма). 
Итак, ядро гильбертовской программы обоснования математики включает в себя три положения: 1) классическая математика должна быть аксиоматизирована, 2) ограниченными финитными методами необходимо показать ее полноту и непротиворечивость, 3) необходимо показать, что математические новации не нарушают стройность математики, фундаментом которой является арифметика Пеано. Программа обоснования математики была принята многими выдающимися математиками, в частности К. Гёделем, Дж. фон Нейманом, П. Бернайсом.