Ньютон в отличие от Лейбница не считал бесконечно малые простыми фикциями. Поэтому он пытался дать реальное, а не чисто умозрительное обоснование анализу бесконечно малых. Такое обоснование он ищет прежде всего в понятиях и методах созданной им механики. Изменение любой переменной величины, или, по его терминологии, флюэнты, он представляет в виде движения точки с переменной скоростью. Мгновенное значение скорости движения в фиксированной точке он отождествляет с производной или флюксией. Поскольку понятие скорости мы заимствуем из опыта, то тем самым, по мнению Ньютона, обосновывается и правомерность введения бес- конечно малых. Как замечает акад. Н. Н. Лузин, «наличие у всякого движения скорости и ускорения казалось Ньютону в природе вещей» 10 , поэтому для него было бы «противоестественным» существование кривой без касательной или без кривизны. Но такое обращение к механике для обоснования принципов анализа бесконечно малых нельзя, конечно, считать подлинным обоснованием. Вот почему Ньютон пытается найти другое, математическое обоснование в идее предельного перехода. Опираясь на тщательный анализ текста «Математических начал натуральной философии», Н. Н. Лузин высказывает мнение о «наличии у Ньютона теории пределов в почти современной ее форме» 11 . Однако эта теория не была им достаточно полно разработана и во всяком случае, не оказала сколько-нибудь заметного влияния на ситуацию в области обоснования анализа. Формально противоречивое понятие актуально бесконечно малой величины, которое хотя и не должно равняться нулю, но тем не менее во всех вычислениях отбрасывалось и тем самым приравнивалось нулю, продолжало и в XVIII и даже в первой трети XIX в. играть фундаментальную роль в математическом анализе. Как правило, единственное оправдание такого подхода состояло в плодотворности и правильности получаемых результатов. Большинство же математиков, занятых тогда применением вновь созданного анализа к конкретным проблемам науки, вообще не задумывалось над вопросами обоснования его принципов.