Сомнения в строгости математического доказательства (в возможности достижения полной строгости) высказывались в XX веке многими математиками и философами. В большинстве случаев, однако, эти суждения имели абстрактный характер и не подкреплялись систематической аргументацией. В серии статей, появившихся в The British yournal for the philosophy of science в 1960-1963 гг., И. Лакатос, по- видимому, впервые представил эти сомнения в достаточно концептуализированной форме. Аргументы Лакатоса заслуживают подробного рассмотрения, так как до сих пор они остаются основой всей релятивистской критики математики.

Замысел Лакатоса состоял в том, чтобы показать, что математическое доказательство никогда не избавляется от возможности контрпримеров и, таким образом, никогда не становится абсолютно строгим и надежным. Лакатос не разделяет понятий строгости и надежности и говорит только о строгости, понимая под ней отсутствие контрпримеров, т. е. надежность в определенном здесь смысле. Используя конкретный пример, а именно догадку Л. Эйлера о том, что вершины, ребра и грани многогранника всегда связаны соотношением

V — Е + F = 2, он показывает, как под влиянием контрпримеров математики переходили ко все новым и новым доказательствам этой догадки, не достигая при этом его полного завершения.

С логической точки зрения контрпримеры у Лакатоса разделяются на три типа:

1.Локальные, но не глобальные. Такого рода контрпримеры опровергают отдельные утверждения (леммы), используемые в доказательстве, не ставя под сомнение истинность доказываемого утверждения (догадки). Контрпримеры этого типа говорят об ошибочности некоторых предположений, используемых в доказательстве, и являются эвристическими контрпримерами, побуждающими к уточнению доказательства.

2.Локальные и одновременно глобальные. Такого рода контрпримеры опровергают как догадку, так и некоторую лемму, используемую при доказательстве. Они не ставят под сомнение правильность догадки, так как подтверждают общее логическое правило, согласно которому контрпример для догадки обязан быть контрпримером по крайней мере для одной из лемм, включенных в доказательство. Однако сам факт появления такого рода контрпримеров, т. е. объектов, интуитивно близких к объектам, о которых идет речь в теореме и все- таки не удовлетворяющих ей, указывает на узость теоремы (догадки), на возможность распространения ее на новые объекты, которые при принятых условиях оказываются за пределами обсуждения. Мы, таким образом, имеем здесь дело с эвристическими контрпримерами, побуждающими к обобщению условий теоремы.

3.Глобальные, но не локальные. Это тот случай, когда объект, удовлетворяя всем условиям теоремы и всем промежуточным леммам, не удовлетворяет самой теореме. Такого рода контрпримеры свидетельствуют о неполноте условий, о наличии скрытых предпосылок в рассуждении, т. е. о нестрогости доказательства. Мы имеем здесь дело с логическими контрпримерами, отвергающими доказательство.

Лакатос стремится показать, что эволюция доказательства никогда не доводит его до такой степени совершенства, при которой оно получило бы полную гарантию от контрпримеров, в том числе и от контрпримеров этого последнего типа. Таким образом, Лакатос отрицает идею абсолютной надежности и абсолютной строгости доказательства, т. е. идею завершенного доказательства вообще.

В своей реакции на контрпримеры доказательство, по Лакатосу, проходит несколько стадий. Основные из них следующие: 1. Стадия устранения монстров. На этой стадии мы избавляемся от контрпримеров, придумывая повод, исключающий его из числа объектов, удовлетворяющих условиям. Мы изобретаем аргументы, показывающие, что предполагаемый контрпример, в действительности, не является таковым, поскольку он вообще не относится к множеству объектов, о которых идет речь в теореме. Это происходит через уточнение смысла понятий, входящих в формулировку теоремы. Некоторые исторические контрпримеры к теореме Эйлера, как показывает Лакатос, были сняты через уточнение понятия многогранника, которое лишало спорную фигуру права называться многогранником и сохраняло возможность говорить о теореме Эйлера как применимой ко всему множеству многогранников. 2.

Стадия устранения исключений. Это та стадия в доказательстве, на которой мы осознаем, что объекты, к которым относится теорема, являются лишь подклассом некоторого более широкого класса объектов. Мы теперь явным образом ограничиваем условия теоремы, начиная ее с выражений типа: «Все простые многогранники...», «Все выпуклые многогранники...» и т. п. Строгость теоремы зависит теперь от точности ограничивающих условий. 3.

Стадия анализа доказательства. Устранение монстров и устранение исключений могут проходить по Лакатосу без рассмотрения доказательства как такового. Здесь мы находимся на уровне гипотез ad hoc, которые могут быть более или менее удачными, но никогда не могут гарантировать точности условий и полной надежности теоремы.

Этот недостаток устраняется по Лакатосу лишь тогда, когда мы от анализа контрпримеров переходим к анализу доказательства с намерением выявить упущения в его логике, ставшие причиной контрпримеров. В процессе анализа доказательства мы либо доказываем вспомогательные леммы, сводя их к тривиальным леммам типа 2 + 2 = 4, либо, если они не поддаются такой редукции, помещаем их в условие теоремы, ограничивая сферу истинности теоремы областью действия этих новых условий.

Вопрос о том, может ли математическое доказательство достигнуть уровня полной строгости или завершенности, сводится теперь к вопросу, можем ли мы на какой-либо стадии анализа доказательства гарантировать отсутствие в доказательстве логических (глобальных, но не локальных) контрпримеров. Ответ Лакатоса состоит в том, что этот идеал в подавляющем числе случаев объективно недостижим. Даже в тех случаях, в которых мы можем предполагать законченность доказательства, мы в принципе не можем выработать исчерпывающих аргументов, обосновывающих этот факт. Наша уверенность здесь при всей ее субъективной ясности обречена на то, чтобы оставаться иррациональной.

Для двух первых способов уточнения доказательства этот вывод Лакатоса представляется достаточно убедительным. Метод устранения монстров и метод устранения исключений основаны на том, чтобы посредством конечного числа признаков исключить, в принципе, бесконечное многообразие объектов, не удовлетворяющих теореме. Нет никаких гарантий того, что эта задача является выполнимой для всех классов объектов. Во всяком случае ясно, что двигаясь таким образом по линии, так сказать, исчерпывания отрицательной бесконечности, мы не имеем возможности зафиксировать момент завершения процесса, даже если бы этот момент фактически оказался достигнутым.

Лакатос считает, что и метод анализа доказательства, будучи наиболее эффективным с точки зрения устранения контрпримеров, также не гарантирует полного успеха в уточнении: доказательства. Тривиальные леммы, к которым сводится рассуждение в этом случае, по мнению Лакатоса, также не обладают полной надежностью. История математики, говорит Лакатос, постоянно демонстрирует нам, что тривиально истинные леммы могут превратиться в тривиально ложные и что леммы, опущенные в доказательствах вследствие их полной очевидности, «могут быть не только неверными, но и несовместимыми»30. Уточнение доказательства в стремлении сделать его окончательно строгим представляет собой, по Лакатосу, бесконечный спуск, останавливающийся в данное время на том уровне, где существующие критерии строгости не обнаруживают контрпримеров или логических дефектов. В развитии математических теорий этот спуск проявляется в том, что каждое поколение математиков стремится все более ограничить сферу непосредственных очевидностей, считая необходимым доказать то, что ранее принималось без доказательства. Но прогресс, достигаемый посредством такого увеличения строгости, всегда остается лишь относительным, не устраняющим возможности новых контрпримеров.

Лакатос согласен с тем, что любое реальное доказательство сводится в конечном итоге к последовательности тривиальных переходов, которые мы принимаем только на основе их непосредственной очевидности. Однако он не допускает очевидностей, заслуживающих абсолютного доверия. Он убежден в том, что каждая из этих тривиальных очевидностей может сохранять в себе некоторую некорректность и, таким образом, может стать источником новых контрпримеров.

Строгость доказательства, делает вывод Лакатос, всегда относительна, она зависит от исторически изменяющегося уровня строгости анализа доказательства, т. е. от критериев строгости, которые не остаются неизменными. Мы, считает Лакатос, принимаем теорему в качестве строгой не потому, что она достигла некоторого абсолютного основания и гарантирована от контрпримеров, а потому, что в данный момент она не имеет видимых контрпримеров и видимых логических дефектов с точки зрения принятых критериев строгости. «При каждой «революции строгости», — пишет Лакатос,— анализ доказательства проникал все глубже в доказательство вплоть до- обоснова- тельного слоя, хорошо знакомого основного знания, где верховно правила кристально ясная интуиция, строгость доказательства, а критика изгонялась. Таким образом, различные уровни строгости доказательства отличаются только местом, где должен остановиться критицизм и должно начаться подтверждение. «Достоверность» никогда не может быть достигнута, «основания» никогда не могут быть обоснованы, но «хитрость разума» превращает всякое увеличение строгости а увеличение содержания, в цель математики»31.

Функция доказательств, по Лакатосу, состоит не в том, чтобы обеспечить безупречный вывод догадки из определенных условий, а в том, чтобы максимально улучшить догадку. Смысл доказывания теорем состоит не в достижении абсолютной строгости, но лишь в постоянном приближении к ней.