Это знание, полученное до опыта и независимо от него (знание априори, априорное знание), т.е. знание, как бы заранее известное. Этот философский термин получил важное значение в теории познания и логике благодаря Канту. Идея знания априори связана с представлением о внутреннем источнике активности мышления. Учение, признающее знание априори, называется априоризмом. Противоположностью априори является апостериори (лат. a posteriori — от последующего) — знание, полученное из опыта (опытное знание).

Аналитическое и синтетическое априори

Некоторые ... Читать дальше »

в классической теории множеств Г. Кантора актуальная бесконечность рассматривается с точки зрения бога - как уже ставшая, совершенная и полностью данная. С другой стороны, в альтернативной теории множеств П. Вопенка естественная бесконечность представлена с позиции конечного наблюдателя - также уже ставшая, но данная не полностью, а лишь в границах подвижного горизонта. Далее мы произведем реконструкцию философских предпосылок, на которых, по нашему мнению, основано столь значительное различие в понимании бесконечного у рассматриваемых авторов. 
Онтологические установки Г. Кантора возможно реконструировать по работе [1. С. 63-104], где он предлагает свой взгляд на проблему природы математических объектов. Он утверждает, что числа (и понятия вообще) обладают двумя типами реальности: ин-трасубъективной (имманентной) и тран ... Читать дальше »

Философия математики, отмечает Лолли, традиционно сосредоточивалась на проблемах, связанных о: а) природой математических объектов и б) достоверностью математического познания (16). Эти проблемы постоянно присутствовали в западном философском мышлении как частные формы более общих эпистемологических и онтологических вопросов, касающихся абстрактных объектов, природы универсалий, и др. Основания математики часто трактуют как еще одну проблемную сферу философии математики, которая добавилась к двум вышеназванным в XX в. А ее основные школы - логицизм» формализм и интуиционизм - как современные направления в философии математики. Однако, как подчеркивает Лолли, "представители этих трех школ не согласились бы о такой трактовкой. Основания математики определялись независимо от философия, а до известной степени и как альтернатива ей... Решающее обстоят ... Читать дальше »

Василий Яковлевич Цингер (1836—1907) — доктор чистой математики (а также почётный доктор ботаники), профессор, коллега Бугаева по физико-математическому факультету Московского университета, один из основателей Московского математического общества (1864), позже его президент (1886—1891). Цингер — автор нескольких публичных речей научно-философского содержания, о которых в Энциклопедическом словаре Брокгауза и Ефрона сказано, что они «равно замечательны глубиною научных основоположений, строго логическим построением доводов и искренностью исповедания убеждений автора».

В своей работе «Недоразумения во взглядах на основания геомет ... Читать дальше »

Сомнения в строгости математического доказательства (в возможности достижения полной строгости) высказывались в XX веке многими математиками и философами. В большинстве случаев, однако, эти суждения имели абстрактный характер и не подкреплялись систематической аргументацией. В серии статей, появившихся в The British yournal for the philosophy of science в 1960-1963 гг., И. Лакатос, по- видимому, впервые представил эти сомнения в достаточно концептуализированной форме. Аргументы Лакатоса заслуживают подробного рассмотрения, так как до сих пор они остаются основой всей релятивистской критики математики.

... Читать дальше »

В математике доказа́тельством называется цепочка логических умозаключений, показывающая, что при каком-то наборе аксиом и правил вывода верно некоторое утверждение. В зависимости от контекста, может иметься в виду доказательство в рамках некоторой формальной системы (построенная по специальным правилам последовательность утверждений, записанная на формальном языке) или текст на естественном языке, по которому при желании можно восстановить формальное доказательство. Доказанные утверждения в математике называют теоремами (в математических текстах обычно подразумевается, что доказательство кем-либо найдено; исключения из этого обычая в основном составляют работы по логике, в которых исследуется само понятие доказательства); если ни утверждение, ни его отрицание ещё не доказаны, то такое утверждение называют гипотезой. Иногда в процессе доказательства теоремы ... Читать дальше »

Математика XVII—XVIII столетий, в основном, разрабатывала методы решения различных задач естествознания. Главным из великих творений в области прикладной математики было изобретение анализа (или анализа бесконечно малых) — дифференциального и интегрального исчислений (Ньютон, ЛЕЙБНИЦ), открывших совершенно новые возможности для решения проблем механики и астрономии, а позднее и целого ряда других областей. К 80-м годам XVIII века анализ, который теперь называют классическим, уже стал зрелой наукой. Колоссальную работу по систематизации всех его разделов проделал ЭЙЛЕР (1707-1783), придав законченный вид и формальному аппарату дифференциального и интегрального исчислений и их приложениям к задачам астрономии, механики, гидродинамики, физики и других отраслей точных наук. Однако «увлеченные необыкновенной силой новых приемов, легкостью, экон ... Читать дальше »

Ньютон в отличие от Лейбница не считал бесконечно малые простыми фикциями. Поэтому он пытался дать реальное, а не чисто умозрительное обоснование анализу бесконечно малых. Такое обоснование он ищет прежде всего в понятиях и методах созданной им механики. Изменение любой переменной величины, или, по его терминологии, флюэнты, он представляет в виде движения точки с переменной скоростью. Мгновенное значение скорости движения в фиксированной точке он отождествляет с производной или флюксией. Поскольку понятие скорости мы заимствуем из опыта, то тем самым, по мнению Ньютона, обосновывается и правомерность введения бес- конечно малых. Как замечает акад. Н. Н. Лузин, «наличие у всякого движения скорости и ускорения казалось Ньютону в природе вещей» 10 , поэтому для него было бы «противоестественным» существование кривой без касательной или ... Читать дальше »

Это направление логики, которое в интуиции усматривает основание математики и формальной логики. Оно возникло в начале XX в., когда теория множеств оказалась в полосе кризиса в связи с обнаружением парадоксов, и, следова-тельно, формировалось на базе отрицания принципа двузначности логики. Оно утверждает, что помимо истины и лжи суждения могут иметь и другие значения. Интуиционистская логика оформляется в 1930 г. в работах А. Гейтинга в виде исчисления, однако основанием для нее послужила суровая критика классической логики JI. Брауэром (1881-1961), который и был систематизатором интуиционистской логики. Своим идейным предшественником интуиционисты считают Анри Пуанкаре (1854-1912).

Изначально интуиция (как со ... Читать дальше »

Основателем формализма является немецкий математик Давид Гильберт. Выдвинув эту программу впервые в 1899 г., он существенно обновил ее в 1920-х гг. и работал над ней вплоть до своей кончины в 1942 г. Его не устраивали ни логицизм, ни интуиционизм. Он считал, что логицисты тщетно пытаются свести математику к логике, а интуи- ционисты чрезмерно сужают сферу математики, отказываясь от многих ее достижений, в том числе канторовой теории бесконечных множеств. Сам Гильберт относился к математике очень трепетно. Ему хотелось непременно сохранить все накопленное в ней. В этой связи предметом его особого внимания стали наряду с подлинными математическими объектами так называемые математические идеализации, например мнимые числа, бесконечно малые величины и бесконечность как таковая. Подлинные математические объекты необходимы для описания реальных явлений, пола ... Читать дальше »